Relação entre o ângulo externo e os ângulos não adjacentes

Observe



Exemplos

a) 130=x+x
130=2x
x=130/2
x=65

b) 160=90+x
160-90=x
70=x
x=70

c) 116=x+x-20
116+20=x+x
136=2x
x=136/2
x=68

d) 2x+10=60+x
2x-x+60-10
x=50

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Ângulos

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Condição de existência de um triângulo

Sabemos que um triângulo é formado por três lados que possuem uma determinada medida, mas essas não podem ser escolhidas aleatoriamente como os lados de um quadrado ou de um retângulo, é preciso seguir uma regra.

Só irá existir um triângulo se, somente se, os seus lados obedeceram à seguinte regra: um de seus lados deve ser maior que o valor absoluto (módulo) da diferença dos outros dois lados e menor que a soma dos outros dois lados. Veja o resumo da regra abaixo:

Exemplos:

Com os três segmentos de reta medindo 5cm, 10cm e 9cm, podemos formar um triângulo?
Vamos aplicar a regra da condição de existência de um triângulo para todos os lados.

|10 – 9| < 5 <>5 <19>
|9 – 5| < 10 <>10 <>
|5 – 10| < 9 <>9 <>

Quando um lado não obedece à regra não é possível existir um triângulo.

14 – 8 < 10 < 14 + 10
14 – 10 < 8 < 14 + 10
10 – 8 < 14 < 10 + 8

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Polígono

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Soma dos ângulos internos de qualquer polígono/polígono regular

Soma dos ângulos internos de qualquer polígono

A soma dos ângulos internos de qualquer polígono depende do número de lados (n), sendo usada a seguinte expressão para o cálculo: S = (n – 2)*180, onde n o número de lados.

Soma dos ângulos internos de um polígono regular

A soma dos ângulos internos de um polígono é dada pela expressão:

S = (n – 2 )*180º, onde n = número de lados.

Para calcular o valor de cada ângulo é preciso dividir a soma dos ângulos internos pelo número de lados do polígono.

Exemplos

Exemplo 1
Qual é a soma dos ângulos internos de um heptágono regular?

O heptágono possui 7 lados.
S = (n – 2) * 180º
S = (7 – 2) * 180º
S = 5 * 180º
S = 900º
A soma dos ângulos internos de um heptágono é 900º.

Exemplo 2

Qual a soma dos ângulos internos de um icoságono (20 lados)?

Aplicando a fórmula:
S = (n – 2) * 180º
S = (20 – 2) * 180º
S = 18 * 180º
S = 3240º
A soma dos ângulos internos de um icoságono é 3240º.

Podemos utilizar a fórmula da soma dos ângulos internos para calcular o número de lados de qualquer polígono, desde que a soma dos ângulos internos seja dada.

Exemplo 3

Quantos lados possui um polígono cuja soma dos ângulos internos é igual a 2340º?

S = (n – 2) * 180º
2340º = (n – 2) * 180º
2340º = 180n – 360º
2340 + 360 = 180n
2700 = 180n
180n = 2700
n = 2700/180
n = 15

O polígono possui 15 lados.

A soma dos ângulos externos de qualquer polígono regular é 360º.
Para calcular a medida do ângulo externo de um polígono é preciso dividir 360º pelo número de lados da figura poligonal.

Exemplo 4

Quanto mede o ângulo externo do hexágono?

O hexágono possui seis lados, então:

ai = 360º / 6
ai = 60º

Cada ângulo externo de um hexágono mede 60º.


Exemplo 5
Qual é a soma dos ângulos internos de um heptágono regular?


O heptágono possui 7 lados.
S = (n – 2) x 180º
S = (7 – 2) x 180º
S = 5 x 180º
S = 900º

A soma dos ângulos internos de um heptágono é 900º.

Exemplo 6
Qual a soma dos ângulos internos de um icoságono (20 lados)?

Aplicando a fórmula:
S = (n – 2) x 180º
S = (20 – 2) x 180º
S = 18 x 180º
S = 3240º

A soma dos ângulos internos de um icoságono é 3240º.

Não esqueça! Para aprender ''Soma dos ângulos internos de qualquer polígono/polígono regular'', você precisa saber:

Polígono

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Soma dos ângulos internos de um triângulo

Considere o triângulo a seguir e seus ângulos internos:

Página 3


Vamos desenhar mais dois triângulos, idênticos ao anterior:

Página 3


Agora, observe:

Página 3


Girando os triângulos e unindo um vértice de cada um, de modo que os ângulos α, β e θ tornem-se, dois a dois, adjacentes, temos um ângulo raso:

Página 3


Assim, a soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer vale 180o.

Exercícios resolvidos

1) As medidas dos ângulos de um triângulo são, respectivamente, x, 3x e 5x. Calcule o valor de x.

Página 3


2) Calcule o valor de x nas figuras:
a)

Página 3

x + 70o + 60o = 180o
x = 180o - 130o
x = 50o

b)

Página 3

Devemos escolher um dos segmentos apontados na figura para prolongar, a fim de encontrarmos dois triângulos:

Página 3


Página 3

A partir dos valores que já temos, vamos achar o valor de x:

Página 3


Não esqueça! Para aprender ''diagonais de um polígono'', você precisa saber:

Polígono
Ângulos complementares e suplementares
Ângulos opostos pela vértice

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Diagonais de um polígono

Uma diagonal de um polígono é um segmento de reta entre dois vértices não consecutivos do polígono.

Cálculo do número de diagonais de um polígono

A fórmula para se calcular a quantidade de diagonais "P" que tem em um polígono de "n" lados é a seguinte:

P = {n(n-3)\over 2}

É necessário salientar que o triângulo não possui diagonais, e o pentágono é o único polígono, cujo número de diagonais é o mesmo que o número de lados.

Desenvolvendo a fórmula do cálculo do número de diagonais de um polígono

Tendo o retângulo acima como base para o estudo da fórmula, isolamos (limitamos nossa atenção) a um dos vértices, tomemos, por exemplo, o vértice A. Para esse vértice, somente é possível fazer diagonal com outro vértice não adjacente a ele, nesse caso, o vértice C. Os vértices B e D devem ser desconsiderados pois formam com o A dois dos lados do polígono.

Criamos uma fórmula que descreva a afirmação anterior:

Seja P o número de diagonais possíveis ao vértice A, desconsiderando os 3 (três) vértices com os quais não é possível ligar uma diagonal, a saber: B, D e o próprio A.

P = n − 3

Onde 'n' é o número de vértices do polígono.

Aplicando essa fórmula ao retângulo acima, temos: P = 4 − 3 portanto, para o vértice A uma só diagonal.

Se temos uma fórmula que calcula o número de diagonais para um vértice do polígono, bastaria então multiplicar essa fórmula pelo número de vértices desse polígono para aplicá-la aos outros vértices, porém, o que se observa é que o resultado será sempre o dobro do número de diagonais do polígono, veja:

P = n(n − 3)

P = 4(4 − 3) = 4

Isso se deve ao fato que uma diagonal é sempre "compartilhada" por dois vértices, daí a necessidade de se dividir por 2. Então:

P = {n(n-3)\over 2}

ou ainda:

P = {n^2-3n\over 2}

Fica fácil agora entender matematicamente o porquê do triângulo não ter diagonais, uma vez que serão desconsiderados sempre 3 vértices: o próprio e os dois adjacentes.

Não esqueça! Para aprender ''diagonais de um polígono'', você precisa saber:

Polígonos
Lados e vértices dos polígonos


Exemplo de Aplicabilidade: Os esquadros.

Exercício

Num polígono regular, a diferença entre a medida de um ângulo interno e a de um ângulo externo é 90º. Quantas diagonais tem o polígono?

i = angulo interno
e = angulo externo
n = número de lados do poligono
d = número de diagonais

i + e = 180
i - e = 90

2i = 270
i = 135

Então este polígono regular possui angulos internos que valem 135º

Vamos calcular agora o número de lados deste polígono.
i = ( n-2 ) . 180 / n
135 = ( n-2 ) . 180 / n
135n = 180n - 360
45n = 360
n = 8

Este polígono possui 8 lados.
Agora vamos calcular o número de diagonais

d = (n-3) . n / 2
d = ( 8-3) . 8/2
d = 5.4

d = 20

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Evasão escolar no ECA (Estatuto da Criança e do Adolescente)

A evasão escolar ocorre quando o aluno deixa de frequentar a aula, caracterizando o abandono da escola durante o ano letivo.

No Brasil, a evasão escolar é um grande desafio para as escolas, pais e para o sistema educacional. Segundo dados do INEP (Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Anísio Teixeira), de 100 alunos que ingressam na escola na 1ª série, apenas 5 concluem o ensino fundamental, ou seja, apenas 5 terminam a 8ª série (IBGE, 2007).

Em 2007, 4,8% dos alunos matriculados no Ensino Fundamental (1ª a 8ª séries/1º ao 9º ano) abandonaram a escola. Embora o índice pareça pequeno, corresponde a quase um milhão e meio de alunos. No mesmo ano, 13,2% dos alunos que cursavam o Ensino Médio abandonaram a escola, o que corresponde a pouco mais de um milhão de alunos. Muitos desses alunos retornarão à escola, mas em uma incômoda condição de defasagem idade/série, o que pode causar conflitos e possivelmente nova evasão.

As causas da evasão escolar são variadas. Condições socioeconômicas, culturais, geográficas ou mesmo questões referentes aos encaminhamentos didáticos – pedagógicos e a baixa qualidade do ensino das escolas podem ser apontadas como causas possíveis para a evasão escolar no Brasil.

Os motivos para o abandono da escola

Dentre os motivos alegados pelos pais ou responsáveis para a evasão dos alunos, são mais frequentes nos anos iniciais do ensino fundamental (1ª a 4ª séries/1º ao 9º ano) os seguintes: Escola distante de casa, falta de transporte escolar, não ter adulto que leve até a escola, falta de interesse e ainda doenças/dificuldades dos alunos.

Ajudar os pais em casa ou no trabalho, necessidade de trabalhar, falta de interesse e proibição dos pais de ir à escola são motivos mais frequentes alegados pelos pais a partir dos anos finais do ensino fundamental (5ª a 8ª séries) e pelos próprios alunos no Ensino Médio. Cabe lembrar que, segundo a legislação brasileira, o ensino fundamental é obrigatório para as crianças e adolescentes de 6 a 14 anos, sendo responsabilidade das famílias e do Estado garantir a eles uma educação integral.

Segundo a Lei de Diretrizes e Bases da Educação (LDB9394/96) e o Estatuto da Criança e do Adolescente (ECA), um número elevado de faltas sem justificativa e a evasão escolar ferem os direitos das crianças e dos adolescentes. Nesse sentido, cabe a instituição escolar valer-se de todos os recursos dos quais disponha para garantir a permanência dos alunos na escola. Prevê ainda a legislação que esgotados os recursos da escola, a mesma deve informar o Conselho Tutelar do Município sobre os casos de faltas excessivas não justificadas e de evasão escolar, para que o Conselho tome as medidas cabíveis.

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Retas paralelas cortadas por uma transversal

Transversal

Duas retas paralelas cortadas por uma transversal

Transversal é o nome dado à reta que cruza as retas paralelas.
OBS: Pode haver mais de 1 transversal.

Ângulos formados por duas retas paralelas cortadas por uma transversal

Transversal Perpendicular às retas
Quando a transversal for perpendicular às duas semi-retas paralelas retas todos os ângulos serão retos (de 90°)


Transversal não-perpendicular às retas


Quando a transversal não for perpendicular às retas paralelas, haverá quatro ângulos agudos iguais e quatro ângulos obtusos iguais.

Tipos de ângulos e sua posição

Colaterais: Estão no mesmo lado da transversal.

Alternos: Estão em lados diferentes da transversal.

Classificação Geral

Colaterais internos: Estão do mesmo lado da transversal, entre as paralelas, a soma dos ângulos é 180°
Colaterais externos: Estão do mesmo lado da transversal, fora das paralelas, a soma dos ângulos é 180°
Colaterais adjacentes: Estão do mesmo lado da transversal, mas não na mesma região, apresentam o mesmo vértice, a soma dos ângulos é 180°
Colaterais correspondentes: Estão do mesmo lado da transversal, mas não na mesma região e não apresentam o mesmo vértice, os ângulos são iguais
Alternos internos: Estão em lados diferentes da transversal, entre as paralelas e não apresentam o mesmo vértice, os ângulos são iguais
Alternos externos: Estão em lados diferentes da transversal, fora das paralelas e não apresentam o mesmo vértice, os ângulos são iguais
Alternos comuns:Estão em lados e regiões diferentes da transversal e não apresentam o mesmo vértice, a soma de seus ângulos é 180°
Alternos adjacentes: Estão em lados diferentes da transversal, mas na mesma região e apresentam o mesmo vértice, a soma dos ângulos é 180°
Opostos pelo vértice: Estão em lados e regiões diferentes da transversal e apresentam o mesmo vértice, os ângulos são iguais.
Complementares:são aqueles que, somados, resultam 90°.
Ângulo reto: é o ângulo que medem exatamente 90°.
Ângulo central: é o angulo cujo vértice é o centro da circunferência.
Ângulo inscrito: é o ângulo cujo vértice pertence a uma circunferência e seus lados são secantes a ela.
Ângulo Obtuso: é um ângulo cuja medida está entre 90 ° e 180 °.
Ângulo Agudo: é o ângulo cuja medida é maior do que 0 e menor que 90 graus.
Ângulo de meia volta ou raso: é o ângulo que mede exatamente 180º.
Ângulo de uma volta: é aquele que mede 360º, ou seja, uma volta inteira.
Correspondentes são os que estão do mesmo lado.(congruentes)

Regiões
Interna: Entre a reta
Externo: Fora da reta

Exercício

Na figura abaixo, é paralelo a . Sendo igual a 80o e igual a 35o, calcule a medida de .


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Postagens mais antigas
C.E.S.
Alunas: Tacila Santos e Ariana Costa
Professor: Luciano Reis
Série: 7ª Série (8º Ano)
Disciplina: Matemática

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