Diferença de dois quadrados

Diferença de dois quadrados é o 5º caso de fatoração. Para compreendermos melhor como e quando utilizarmos é necessário que saibamos que diferença na matemática é o mesmo que subtração e que quadrado é elevar um número, letra ou termos ao quadrado.

A fatoração pela diferença de dois quadrados só poderá ser usada quando:


- Tivermos uma expressão algébrica com dois monômios (sejam binômios).

- Os dois monômios sejam quadrados.
- A operação entre eles for de subtração.

Veja alguns exemplos de expressões algébricas que seguem esse modelo:
a2 - 1, a expressão algébrica tem apenas dois monômios, os dois estão ao quadrado e entre eles há uma operação de subtração.
1 – a2

3

4x2 – y2

►Como escrever a forma fatorada dessas expressões algébricas.


Dada a expressão algébrica 16x
2 – 25, veja os passos que devemos tomar para chegarmos a forma fatorada utilizando o 5º caso de fatoração. A forma fatorada será (4x – 5) (4x + 5).



Veja alguns exemplos:

Exemplo 1:
A expressão algébrica x2 – 64 é uma expressão com dois monômios e as raízes quadradas são respectivamente x e 8, então a sua forma fatorada é (x – 8) (x + 8).


Exemplo 2:
Dada a expressão algébrica 25x2 – 81, a raiz dos termos 25x2 e 81 é respectivamente 5x e 9. Então, a forma fatorada é (5x – 9) (5x + 9).

Exemplo 3:
Dada a expressão algébrica 4x2 – 81y2, a raiz dos termos 4x2 e 81y2 é respectivamente 2x e 9y. Então, a forma fatorada é (2x – 9y) (2x + 9y).

Não esqueça! Para resolver ''fatoração de polinômios'', você precisa saber:

Monômios e polinômios; operações com números racionais, fatoração de polinômios.

Exemplo de Aplicabilidade: As expressões algébricas são encontradas muitas vezes em fórmulas matemáticas. Por exemplo, no cálculo de áreas de retângulos, triângulos e outras figuras planas.

Matemática no Dia Dia


O uso diário da aritmética e a apresentação de informações através de gráficos, são um lugar comum no nosso dia a dia. Estes são os aspectos elementares da matemática. A matemática avançada é amplamente usada mas, freqüentemente, de um modo invisível e inesperado. A matemática dos códigos de correção de erros é aplicada a aparelhos CD e a computadores. As fotos estonteantes de longínquos planetas enviadas pelo Voyager II não poderiam ter sua clareza e sua qualidade sem esta matemática. A jornada do Voyager aos planetas não poderia ter sido calculada sem a matemática das equações diferenciais. Sempre que se diz que avanços são feitos com super-computadores, tem que ter uma teoria matemática que instrui o computador sobre o que deve ser feito, desse modo permitindo a ele que aplique sua capacidade de rapidez e exatidão.

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Agrupamento

Agrupamento é o método pelo qual simplificamos uma expressão algébrica, agrupando os termos semelhantes (termos em comum).
Ao usarmos o método do agrupamento, necessitamos fazer uso da fatoração: termo comum em evidência.
Observe no exemplo a seguir:

4x² + 8x + 6xy + 12y

Termo comum em evidência em cada agrupamento: 4x² + 8x (8 = 4*2) e 6xy + 12y (12 = 6*2)

4x(x + 2) + 6y(x + 2)

Colocamos novamente em evidência, pois os termos 4x e 6y possuem termos em comum.
(4x + 6y) (x + 2)


Observe mais alguns exemplos de fatoração por agrupamento:


Exemplo 1

2xy – 12x + 3by – 18b
2x(y – 6) + 3b(y – 6)
(2x + 3b)( (y – 6)

Exemplo 2

6x²b + 42x² – y²b – 7y²
6x²(b + 7) – y²(b + 7)
(6x² – y²) (b + 7)


Exemplo 3

x² – 10x + xy – 10y
x(x – 10) + y(x – 10)
(x + y) ( x – 10)

Exemplo 4

a³b + a² + 5ab³ + 5b²
a²(ab + 1) + 5b²(ab + 1)
(a² + 5b²) (ab + 1)


Exemplo 5

2xy – 4x + 3xy – 6x + 4xy – 8x
2x(y – 2) + 3x(y – 2) + 4x (y – 2)
(2x + 3x + 4x) (y – 2)
9x (y – 2)

Exemplo 6
ax +bx +ay +by
x(a+b) + y(a+b)
(a+b) (x+y)


Não esqueça! Para resolver ''fatoração de polinômios'', você precisa saber:

Monômios e polinômios; operações com números racionais; fator comum em evidência.


Exemplo de Aplicabilidade:
Numa papelaria, quando calculamos o preço de um caderno somado ao preço de duas canetas, usamos expressões como 1x+2y, onde x representa o preço do caderno e y o preço de cada caneta.

Matemática no Dia Dia

O cidadão se depara com situações que exigem raciocínio matemático como adição, subtração, divisão e multiplicação. E não somente as quatro operações básicas que aparecem no cotidiano. Muitas vezes, as pessoas acabam fazendo cálculos complexos para resolver situações do dia-a-dia e nem percebem que estão praticando a Matemática. Por isso, na sala de aula a metodologia do Projeto Cidade Júnior facilita o aprendizado dos conteúdos curriculares, pois possibilita ao educador contextualizar os conhecimentos abstratos da Matemática, através da aproximação da realidade em relação aos conteúdos, identificando o uso desse conhecimento na sociedade.

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Fatoração de Polinômios

Definição

O termo fatoração leva ao pensamento de fatores ou partes. Como já falado em alguns tutoriais, fatores são elementos constantes de multiplicação.
Desta forma fatorar um número, é expressá-lo no formato de uma multiplicação de fatores.Vamos a alguns exemplos.

a) O número 32 pode ser escrito como uma multiplicação de fatores de várias formas:

32 = 2 x 16

32 = 4 x 8

32 = 2 x 2 x 8

b) O número 12 pode ser escrito como uma multiplicação de fatores das seguintes formas:
12 = 2 x 6

12 = 4 x 3

12 = 1 x 6 x 2

No caso de uma expressão numérica, cujas parcelas têm um fator comum no problema, é possível fatorar da seguinte forma:

6 x 3 + 5 x 3 = (6 + 5) x 3 (Esta é a forma fatorada da expressão fornecida)

4 x 2 + 7 x 2 = (4 + 7 ) x 2 (Forma fatorada da expressão)

Fatorar, então é transformar equações algébricas em produtos de duas ou mais expressões, chamadas fatores. Observe

Ex: ax + ay = a.(x+y)

Ex.: bz + bw = b.(z + w)

Ex.: 15x + 9y = 3.(5x + 3y)

Ex.: 50 − 10y = 10.(5 − y)

Ex.: x4 + 2x3 – 7x2 – 8x + 12 = (x – 1) (x – 2) (x + 2) (x + 3)

Ex.: ax + ay + az = a (x + y + z)

Não esqueça! Para resolver ''fatoração de polinômios'', você precisa saber:

Monômios e polinômios; operações com números racionais.

Exemplo de Aplicabilidade: Num colégio, ao comprar um lanche, somamos o preço de um refrigerante com o preço de um salgado, usando expressoes do tipo 1x+1y onde x representa o preço do salgado e y o preço do refrigerante.

Matemática no Dia Dia

Difícil seria responder a "Quando é que não aplicamos matemática no dia-a-dia?".
Não pense apenas nas contas ao dinheiro, ou nos litros de gasolina que o seu carro gasta.
Pense que o seu computador "sobrevive" de algoritmos, processos que "vivem" de números.
Pense em outras ciências - física, biologia, química, etc - e como seriam se não houvesse matemática.
Pense porque é que as paredes da sua casa ainda não caíram; Porque é que as pontes não caiem; Porque o avião voa, etc.
Pense no que quiser...
Pense numa onda do mar. Com a matemática pode medir a força dessa onda.
Pense no cristo redentor. Com o teorema de Pitágoras pode descobrir a sua altura.

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C.E.S.
Alunas: Tacila Santos e Ariana Costa
Professor: Luciano Reis
Série: 7ª Série (8º Ano)
Disciplina: Matemática

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