Uma diagonal de um polígono é um segmento de reta entre dois vértices não consecutivos do polígono.
Cálculo do número de diagonais de um polígono
A fórmula para se calcular a quantidade de diagonais "P" que tem em um polígono de "n" lados é a seguinte:
É necessário salientar que o triângulo não possui diagonais, e o pentágono é o único polígono, cujo número de diagonais é o mesmo que o número de lados.
Desenvolvendo a fórmula do cálculo do número de diagonais de um polígono
Tendo o retângulo acima como base para o estudo da fórmula, isolamos (limitamos nossa atenção) a um dos vértices, tomemos, por exemplo, o vértice A. Para esse vértice, somente é possível fazer diagonal com outro vértice não adjacente a ele, nesse caso, o vértice C. Os vértices B e D devem ser desconsiderados pois formam com o A dois dos lados do polígono.
Criamos uma fórmula que descreva a afirmação anterior:
Seja P o número de diagonais possíveis ao vértice A, desconsiderando os 3 (três) vértices com os quais não é possível ligar uma diagonal, a saber: B, D e o próprio A.
P = n − 3
Onde 'n' é o número de vértices do polígono.
Aplicando essa fórmula ao retângulo acima, temos: P = 4 − 3 portanto, para o vértice A uma só diagonal.
Se temos uma fórmula que calcula o número de diagonais para um vértice do polígono, bastaria então multiplicar essa fórmula pelo número de vértices desse polígono para aplicá-la aos outros vértices, porém, o que se observa é que o resultado será sempre o dobro do número de diagonais do polígono, veja:
P = n(n − 3)
P = 4(4 − 3) = 4
Isso se deve ao fato que uma diagonal é sempre "compartilhada" por dois vértices, daí a necessidade de se dividir por 2. Então:
ou ainda:
Fica fácil agora entender matematicamente o porquê do triângulo não ter diagonais, uma vez que serão desconsiderados sempre 3 vértices: o próprio e os dois adjacentes.
Não esqueça! Para aprender ''diagonais de um polígono'', você precisa saber:
Polígonos
Lados e vértices dos polígonos
Exemplo de Aplicabilidade: Os esquadros.
Exercício
Num polígono regular, a diferença entre a medida de um ângulo interno e a de um ângulo externo é 90º. Quantas diagonais tem o polígono?i = angulo interno e = angulo externo n = número de lados do poligono d = número de diagonais i + e = 180 i - e = 90 2i = 270 i = 135 Então este polígono regular possui angulos internos que valem 135º Vamos calcular agora o número de lados deste polígono. i = ( n-2 ) . 180 / n 135 = ( n-2 ) . 180 / n 135n = 180n - 360 45n = 360 n = 8 Este polígono possui 8 lados. Agora vamos calcular o número de diagonais d = (n-3) . n / 2 d = ( 8-3) . 8/2 d = 5.4 d = 20
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