Ex:

Quando as frações possuem denominadores diferentes, basta reduzi-las ao mesmo denominador e em seguida, somar ou subtrair os numeradores.

Ex:

Convém lembrar dos jogos de sinais.

Na expressão

( x³ + 2 y² + 1 ) – ( y ² - 2 ) = x³ +2 y² + 1 – y² + 2 = x³ + y² +3

Ex.: 2 x³ y² z + 3x³ y² z = 5x³ y² z

Exemplos:

'

O cálculo de frações algébricas utiliza o mesmo processo do cálculo das frações numéricas, admitindo-se sempre que o denominador não seja nulo, ou seja, diferente de zero.

3x²y² y

A matemática, como todas as outras coisas, tem seu lado positivo e negativo.
Seu lados positivos são bem claros e lógicos, como viveríamos sem os números? Para calcular o preço de uma alimento, para desenvolver a lógica mental, o raciocínio, para todos tipos de profissões, nenhuma pessoa é capaz de conseguir um emprego sem saber todos os assuntos da matemática. Até mesmo no lazer, quando tocamos um simples instrumento como um violão, precisamos da matemática.
Agora, os pontos negativos, realmente existem. Não que a matemática foi feita para o lado do mau, mas sempre existem pessoas que usam para o ruim. Como exemplo, traficantes que precisam da matemática para verificar o peso de uma droga como maconha, na balança de precisão. Ou então terroristas que calculam o tempo de uma bomba. Infelizmente, a matemática é usada para essas coisas também.

Trinômio do quadrado perfeito é o 3º caso de fatoração de expressão algébrica. Ele só pode ser utilizado quando a expressão algébrica for um trinômio (polinômio com três monômios) e esse trinômio formar um quadrado perfeito.

O que é trinômio

Trinômio é um polinômio que tem três monômios sem termos semelhantes. Nem todos os trinômios acima podem ser fatorados utilizando o quadrado perfeito.

O que é quadrado perfeito

Para melhor entender o que é quadrado perfeito, veja:

Podemos considerar um número sendo quadrado perfeito? Sim, basta que esse número seja o resultado de outro número elevado ao quadrado, por exemplo: 25 é um quadrado perfeito, pois 5² = 25.
Agora, devemos aplicar isso em uma expressão algébrica, observe o quadrado à abaixo com lados x + y, o valor desse lado é uma expressão algébrica.

Para calcularmos a área desse quadrado podemos seguir duas formas diferentes:

1º forma: A fórmula para o cálculo da área do quadrado é A = Lado² , então como o lado nesse quadrado é x + y, basta elevá-lo ao quadrado.

A₁ = (x + y)²

O resultado dessa área A₁ = (x + y)² é um quadrado perfeito.

2º forma: Esse quadrado foi dividido em quatro retângulos onde cada um tem a sua própria área, então a soma de todas essas áreas é a área total do quadrado maior, ficando assim:

A₂ = x² + xy + xy + y², como xy e xy são semelhantes podemos somá-los

A₂ = x² +2xy + y²

O resultado da área A₂ = x² +2xy + y² é um trinômio.


As duas áreas encontradas representam a área do mesmo quadrado, então:

A₁ = A₂
(x + y)² = x² +2xy + y²

Então, o trinômio x² +2xy + y² tem como quadrado perfeito (x + y)².

Quando tivermos uma expressão algébrica e ela for um trinômio do quadrado perfeito a sua forma fatorada é representada em forma de quadrado perfeito, veja:

O trinômio x² +2xy + y² fatorado fica (x + y)².

Veja alguns exemplos:

Exemplo 1:

Dado o trinômio m² – m n + n² , devemos tirar as raízes dos termos m² e n² , as raízes serão m e n, o dobro dessas raízes será 2. m . n que é diferente do termo m n (termos do meio), então esse trinômio não é quadrado perfeito.

Exemplo 2:

Dado o trinômio 4x² – 8xy + y², devemos tirar as raízes dos termos 4x² e y² , as raízes serão respectivamente 2x e y. O dobro dessas raízes deve ser 2 . 2x . y = 4xy, que é diferente do termo 8xy, então esse trinômio não poderá ser fatorado utilizando o quadrado perfeito.

Exemplo 3:

Dado o trinômio 1 + 9a² – 6a.
Devemos, antes de usar as regras do quadrado perfeito, colocar o trinômio em ordem crescente de expoentes, ficando assim:
9a² – 6a + 1.
Agora, tiramos a raiz dos termos 9a² e 1, que serão respectivamente 3a e 1. O dobro dessas raízes será 2 . 3a . 1 = 6a, que é igual ao termo do meio (6a), então concluímos que o trinômio é quadrado perfeito e a forma fatorada dele é (3a – 1)².

Exemplo 4:
x² + 2x +1= (x+1)²
Vx²= x
Vx²= 1
2.x.1= 2x


Exemplo 5:
4x² - 12x +9= (2x-3)²
V4x²=2x
V9= 3
2.2x.3= 12x

Exemplo 6:
4x² - 12xy +9y²= (2x-3y)²
V4x²= 2x
V9y²= 3y
2.2x.3y= 12xy

Não esqueça! Para resolver ''fatoração de polinômios'', você precisa saber:

A fatoração surge como um recurso da Matemática para facilitar os cálculos algébricos; através dela conseguimos resolver situações mais complexas.
Na fatoração por fator comum em evidência, utilizamos a idéia de fazer grupos de polinômios, ao fatorar escrevemos a expressão na forma de produto de expressões mais simples.
O polinômio x² + 2x possui forma fatorada, veja:

x² + 2x .: podemos dizer que o monômio x é comum a todos os termos, então vamos colocá-lo em evidência e dividir cada termo do polinômio x² + 2x por x.
Temos: x (x + 2)
Concluímos que x (x + 2) é a forma fatorada do polinômio x² + 2x.
Para termos certeza dos cálculos, podemos aplicar a distribuição na expressão x (x + 2) voltando ao polinômio x² + 2x.

Exemplos de fatoração utilizando fator comum em evidência:

Exemplo 1
8x³ - 2x² + 6x (fator comum: 2x)
2x (4x² - x + 3)


Exemplo 2
a⁶ – 4a² (fator comum: a²)
a² (a⁴ – 4)


Exemplo 3
4x³ + 2x² + 6x (notamos que o monômio 2x é comum a todos os termos)
2x (2x² + x + 3)

Exemplo 4
6x³y³ – 9x²y + 15xy² (fator comum: 3xy)
3xy (2x²y² – 3x + 5y)


Exemplo 5
8b⁴ – 16b² – 24b (fator comum: 8b)
8b (b³ – 2b – 3)


Exemplo 6
8x² – 32x – 24 (fator comum: 8)
8 (x² – 4x – 3)

Não esqueça! Para resolver ''fatoração de polinômios'', você precisa saber:

Monômios e polinômios; operações com números racionais, fatoração de polinômios.